Matematika

Monday, October 25, 2021

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Pengertian dan Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah sebuah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat pada setiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):

$ax + by = c$

Dimana:
$a, b$ disebut koefisien
$x, y$ disebut variabel
$c$ disebut konstanta

Pengertian dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear dua variabel yang saling berhubungan dan memiliki satu penyelesaian.

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):

$ax + by = c$

$px + qy = r$

Dimana:
$a, b, p, q$ disebut koefisien
$x, y$ disebut variabel
$c, r$ disebut konstanta

Seperti yang sudah disinggung sebelumnya, SPLDV ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari – hari yang membutuhkan penggunaan Matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari laba dari suatu penjualan, dsb. Berikut ini adalah langkah – langkah untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV:

Mengganti setiap besaran yang terdapat dalam suatu masalah dengan variabel.
Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum dari SPLDV.
Mencari solusi dari model permasalahan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

Contoh:

Adi membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil di sebuah toko seharga Rp. 13.000,00. Beni membeli 1 buah buku dan 1 buah pensil seharga Rp. 5.000,00. Mereka lupa menanyakan harga masing – masing barang tersebut. Bagaimana cara mengetahui harga buku dan pensil tanpa kembali ke toko dan bertanya kepada penjual?

Jawab:

Permasalahan di atas adalah salah satu masalah dalam kehidupan sehari – hari yang membutuhkan penggunaan Matematika dalam penyelesaiannya. Masalah di atas dapat diselesaikan menggunakan SPLDV dengan langkah – langkah berikut:

Langkah 1 (mengganti setiap besaran dengan variabel)

Misalkan harga 1 buah buku dinotasikan dengan $x$ dan harga 1 buah pensil dinotasikan dengan $y$ .

Langkah 2 (membuat model Matematika)

Harga 3 buah buku dan 2 buah pensil adalah Rp. 13.000,00. Pernyataan tersebut dapat dimodelkan menjadi $3x + 2y = 13$ .
Harga 1 buah buku dan 1 buah pensil adalah Rp. 5.000,00. Pernyataan tersebut dapat dimodelkan menjadi $x + y = 5$ .

Sehingga, model Matematika dari permasalahan di atas adalah:

$3x + 2y = 13$
$x + y = 1$

Langkah 3 (mencari solusi dari model Matematika menggunakan metode penyelesaian SPLDV)

Untuk mencari solusi dari model Matematika yang telah dibuat dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV akan dijelaskan pada materi di bawah ini.

Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Suku

Variabel

Variabel adalah notasi pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel disebut juga sebagai peubah. Variabel biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti $a, b, c, …, z$ .

Contoh:

Suatu bilangan jika dikalikan 3 kemudian dikurangi 9 menghasilkan 6. Maka bentuk persamaannya adalah $3x - 9 = 6$ dimana $x$ merupakan variabel dari persamaan tersebut.

Konstanta

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

Contoh:

Kontanta dari bentuk aljabar $5x + 7$ adalah 7.

Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh:

Koefisien $x$ dari $9x - 3$ adalah 9.

Suku

Suku adalah sebuah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: $5, 3x, -2xy$ .
Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: $x + y, 2x - 3$
Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: $4x^2 + 5x - 3, 2xy - x + y$ .

BERIKUT ILUSTRASI SPLDV

Monday, October 19, 2020

SIFAT-SIFAT PERSAMAAN GARIS LURUS

Apabila diketahui dua atau lebih persamaan garis maka dapat ditentukan sifat-sifat persamaan garis. Mari simak uraiannya sebagai berikut.

Persamaan garis lurus yang sejajar sumbu x

Pada gambar di bawah ini, garis AB sejajar dengan sumbu x. Persamaan garis AB adalah y = 2.

Dari gambar di atas, diketahui koordinat titik A (-3, 2) dan B (3, 2). Perhatikan bahwa ordinat (y) kedua titik tersebut sama yaitu 2. Ini berarti, ciri garis yang sejajar sumbu x adalah memiliki ordinat (y) titik yang sama. Bentuk umum persamaan garisnya adalah y= k, dengan k adalah konstanta.

Persamaan garis lurus yang sejajar sumbu y

Pada gambar di bawah ini, garis AB sejajar dengan sumbu y. Persamaan garis AB adalah x = 2.

Dari gambar di atas, diketahui koordinat titik A (2, 2) dan B (2, -1). Perhatikan bahwa absis (x) kedua titik sama yaitu 2. Dengan demikian, ciri garis yang sejajar sumbu y adalah memiliki absis titik yang sama. Bentuk umum persamaan garisnya adalah x = k, dengan k adalah konstanta.

Persamaan garis lurus yang saling sejajar

Perhatikan gambar di bawah ini. Bila dilihat dengan saksama, ruas garis y = x + 3, y = x, dan y = x - 2 tidak akan berpotongan walaupun diperpanjang pada kedua ujungnya. Kedudukan ketiga garis tersebut dinamakan saling sejajar. Jika diperhatikan lebih teliti lagi, grafik y = x + 3 bisa dibentuk dengan cara menggeser grafik y = x ke atas searah sumbu y sebanyak 3 satuan. Grafik persamaan y = x - 2 juga bisa dibentuk dengan cara menggeser grafik y = x ke bawah searah sumbu y sebanyak 2 satuan. Dari gambar tersebut, dapat disimpulkan bahwa persamaan y = ax + b akan sejajar dengan y = ax + c jika memiliki nilai a atau koefisien x yang sama.

Persamaan garis lurus yang saling tegak lurus

Perhatikan grafik persamaan y = x dan y = -x di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa kedua garis saling berpotongan tegak lurus. Ini berarti, perpotongan kedua garis akan membentuk sudut siku-siku (90⁰). Persamaan garis y = ax + b akan berpotongan tegak lurus dengan persamaan garis y = -(1/a)x + c

Persamaan garis lurus yang saling berpotongan

Dua buah garis lurus dikatakan saling berpotongan, jika keduanya tidak saling sejajar. Misalkan diketahui dua buah persamaan garis yaitu y = ax + b dan y = cx + d. Apabila koefisien x dari masing-masing persamaan tidak sama atau a ≠ c, maka persamaan ini dikatakan saling berpotongan.

Untuk kasus dua garis yang saling tegak lurus, sudah tentu keduanya saling berpotongan. Hal ini tidak berlaku sebaliknya karena dua garis yang saling berpotongan belum tentu saling tegak lurus atau membentuk sudut 90⁰. Ini berarti, garis yang saling tegak lurus merupakan salah satu jenis dari kedudukan garis yang saling berpotongan. Misalnya y = 3x + 5 saling berpotongan dengan y = 2x - 7.

Persamaan garis lurus yang saling berimpit

Dua buah garis dikatakan saling berimpit jika, keduanya memiliki paling sedikit 2 titik potong. Misalkan diketahui dua persamaan garis yaitu ax + by = c dan px + qy = r. Kedua garis tersebut akan berimpit bila memenuhi hubungan:

a/p = b/q = c/r

\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}

Ini berarti, perbandingan suku-suku yang sejenis pada kedua persamaan garis adalah sebanding. Contoh garis yang saling berimpit adalah 2x - y = 7 (a = 2, b = -1, c = 7) dengan 6x - 3y = 21 (p = 6, q = -3, r = 21), sehingga:

\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}

a/p = b/q = c/r

⇔ 2/6 = -1/-3 = 7/21 =1/3

Contoh 1

Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis y = 3.

Penyelesaian:

Persamaan garis y = 3 akan sejajar dengan setiap garis y = k.

Ini berarti, garis juga akan sejajar sumbu x atau y = 0.

Contoh 2

Tentukan kedudukan antara garis -2x + y = 5 dan -3x + y = 5.

Penyelesaian:

Diketahui persamaan garis -2x + y = 5 dan -3x + y = 5.

Perhatikan bahwa koefisien variabel x pada masing-masing persamaan berbeda yaitu -2 dan -3. Hal ini menunjukkan bahwa kedua garis tidak sejajar artinya garis tersebut saling berpotongan.

Jadi, kedudukan antara persamaan -2x + y = 5 dan -3x + y = 5 saling berpotongan.

Thursday, October 15, 2020

Cara Menentukan Fungsi Kuadrat

1. Cara menentukan fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan sembarang titik di kurva.

2. Cara Menentukan Fungsi Kuadra jika diketahui titik perpotongan di sumbu x dan y

Monday, October 12, 2020

Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus dengan Kemiringan m dan melalui Titik (x,y)

Monday, October 5, 2020

Cara Menentukan Kemiringan Garis Lurus / Persamaan garis lurus

Gradien di definisikan dengan tingakt kemiringan garis. Dari defisini ini akan tahu bahwa sebuah garis mempunyai tingkat kemiringan tersendiri. Nah dalam kasusnya dengan garis lurus ini kita akan berusaha mencari gradien garis lurus dengan beracuan pada persamaan garis lurus tersebut. Dalam matematika gradien dilambangkan dengan $m$

Gradien Garis Lurus $y = mx$
Persamaan garis lurus yang berbentuk $y = mx$ merupakan bentuk persamaan garis lurus yang paling sederhana. Untuk mencari gradien dari persamaan gari lurus, hal pertama yang perlu di ketahui adlah absi dan ordinat. Karena gradien garis lurus dapat dicari dengan menggunakan perbandingan dari absis dan ordinat, sehingga untuk penulisan rumus gradien persamaan garis lurus dapat ditulis sebagai berikut :

$Gradien = \frac{absis}{ordinat}$
$m = \frac{y}{x}$
$y = mx$

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta $m$ yang terletak di depan variabel $x$ , dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk $y = mx$ . Untuk lebih jelasnya, pelajari lah Contoh Soal

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. $y = 2x$
b. $y = 3x$
c. $x = 2y$
d. $2x + 3y = 0$
e. $4x - 6y = 0$
Jawab :
Jawab :
a. Persamaan garis $y = 2x$ sudah memenuhi bentuk $y = mx$ . Jadi, diperoleh $m = 2$ .
b. Persamaan garis $y = -3x$ sudah memenuhi bentuk $y = mx$ . Jadi, diperoleh $m = -3$ .
c. Persamaan garis $x = 2y$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $y = mx$ sehingga
$x = 2y$
$y = \frac{x}{2}$
$y = \frac{1}{2}x$
Persamaan garis $y = \frac{1}{2}x$ sudah memenuhi bentuk $y = mx$ . Jadi, diperoleh $m =\frac{1}{2}$

d. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
$2x +3y = 0$
$3y = -2x$
$y = \frac{-2}{3}x$
$y =\frac{-2}{3}x$

Persamaan garis $y =\frac{-2}{3}x$ sudah memenuhi bentuk $y = mx$ . Jadi, diperoleh $m = \frac{-2}{3}$

e. Persamaan garis $4x - 6y = 0$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $y = mx$ sehingga
$4x - 6y = 0$
$6y = 4x$
$y = \frac{4}{6}x$
$y =\frac{2}{3}x$

Persamaan garis $y =\frac{2}{3}x$ sudah memenuhi bentuk $y = mx$ . Jadi, diperoleh $m =\frac{2}{3}$

Gradien Garis $y = mx + c$
Sama halnya dengan gradien pada persamaan garis $y = mx$ , gradien pada garis dengan persamaan $y = mx + c$ dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel $x$ . Dengan membawa persamaan untuk memenuhi bentuk $y = mx + c$ dengan demikian kita akan mengetahui konstanta $X$ sehingga dapat kita tentukan untuk menjadi nilai gradien dari persamaan tersebut untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. $y = 4x + 6$
b. $y = -5x - 8$
c. $2y = x + 12$
d. $3y = 6 + 9x$
e. $2 + 4y = 3x + 5$
Jawab :
a. Persamaan garis $y = 4x + 6$ sudah memenuhi bentuk $y = mx + c$ . Jadi, nilai $m = 4$ .
b. Persamaan garis $y = -5x - 8$ sudah memenuhi bentuk $y = mx + c$ . Jadi, nilai $m = -5$ .
c. Persamaan garis $2y = x + 12$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $y = mx + c$ sehingga
$2y = x +12$
$y =\frac{x +12}{2}$
$y =\frac{1}{2} x + 6$
Jadi, nilai $m =\frac{1}{2}$

d. Persamaan garis $3y = 6 + 9x$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $y = mx + c$ sehingga
$3y = 6 + 9x$
$y = \frac{6 + 9x}{3}$
$y = 2 + 3x$
$y = 3x + 2$

Jadi, nilai $m = 3$ .

e. Persamaan garis $2 + 4y = 3x +5$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk $y = mx + c$ sehingga
$2 + 4y = 3x + 5$
$4y = 3x + 5 - 2$
$4y = 3x + 3$
$y =\frac{3 + 3x}{4}$
$y =\frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

Jadi, nilai $m =\frac{3}{4}$

Berikut Video Penjelasannya: